实变函数笔记20250328
第四章 Lebesgue 积分
简单函数 Lebesgue 积分定义
\(\phi: E\rightarrow \R\)为简单函数，即\(\phi=\sum_{k=1}^n c_k\chi_{E_k}\)，则其 Lebesgue 积分定义为
其具有如下性质：
- 线性性：\(\forall\alpha,\beta\in\R,\Rightarrow \int_E(\alpha\phi+\beta\psi)=\alpha\int_E\phi+\beta\int_E\psi\)
- 可加性：\(E\cap F=\phi,\Rightarrow \int_{E\cup F}\phi=\int_E\phi+\int_F\phi\)
- 单调性：\(\phi\leq\psi\Rightarrow\int_E\phi\leq\int_E\psi\)
- 三角不等式：\(|\int_E\phi|\leq\int_E|\phi|\)
有界函数 Lebesgue 积分定义
\(E\) 可测，\(m(E)<\infty,f:E\rightarrow\R\)有界（但不一定可测）则
定义 Lebesgue 下积分 \(\underline{\int}_Ef:=\sup\{\int_E\phi;\ \phi:E\rightarrow\R\)且为简单函数\(,\ a.e.\ \phi\leq f\}\)
定义 Lebesgue 上积分 \(\overline{\int}_Ef:=\inf\{\int_E\psi;\ \psi:E\rightarrow\R\)且为简单函数\(,\ a.e.\ \psi\geq f\}\)
如果\(\underline{\int}_Ef=\overline{\int}_Ef\)，则称 \(f\) 是 Lebesgue 可积的，记为\(\int_E f\)
Riemann 可积与 Lebesgue 可积的关系
\(f:I=[a,b]\rightarrow\R\)有界，如果\(f\) Riemann 可积，则\(f\) Lebesgue 可积，且二者相等
\(\underline{\int}_a^bf(x)\mathrm{d}x\leq\underline{\int}_If\leq\overline{\int}_If\leq\overline{\int}_a^bf(x)\mathrm{d}x\)
定理
\(f\) 有界可测，则\(f\)可积
一致收敛定理
\(\{f_n\}_{n=1}^{\infty}\) 有界可测且\(f_n\)在\(E\)上一致收敛于\(f\)，则\(f\)可积且\(\int_Ef=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_Ef_n\)
有界收敛定理
\(\{f_n\}_{n=1}^{\infty}\) 可测且一致有界，\(f_n\) 点点收敛于 \(f\)，则 \(f\) 可积且\(\int_Ef=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_Ef_n\)
非负可测函数 Lebesgue 积分定义
\(f:E\rightarrow\bar\R\)（不要求\(m(E)<\infty\)）
\(\int_Ef:=\sup\{\int_Eh;\ h:E\rightarrow\R\)有界可测且\(h\in[0,f]\},m(\{x\in E;\ h(x)\not=0\})<\infty\)
如果\(\int_Ef<\infty\)则称\(f\)在\(E\)上可积
Chebychev 不等式
\(f:E\rightarrow\bar\R\) 非负可测，则\(\forall \lambda>0,m(E_\lambda:=\{x\in E,f(x)\geq\lambda\})\leq\frac{1}{\lambda}\int_Ef\)
命题
\(f:E\rightarrow\R\)非负可测，则\(\int_Ef=0\Leftrightarrow f=0\ a.e.\)
命题
\(f,g:E\rightarrow\bar\R\)非负可测，则上文线性性，可加性，单调性均成立。
Fatou 引理
\(\{f_n\}_{n=1}^{\infty}\) 非负可测，\(f_n\ a.e.\) 收敛于 \(f\)，则\(\int_Ef\leq\liminf\int_Ef_n\)
推论
\(\{f_n\}\)非负可测，\(0\leq f_n\leq f\)，\(f_n\ a.e.\) 收敛于\(f\)，则\(\int_Ef=\lim_{n\rightarrow \infty}\int_Ef_n\)
单调收敛定理
\(\{f_n\}\)为非负可测渐升列，\(f_n\ a.e.\) 收敛于\(f\)，则\(\int_Ef=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_Ef_n\)
推论
设\(\{u_n\}\) 非负可测，\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n=f\ a.e\) 则有 \(\int_Ef=\sum_{n=1}^{\infty}\int_Eu_n\)
推论（Fatou 引理）
\(\{f_n\}\)非负可测，则\(\int_E\liminf f_n\leq\liminf\int_E f_n\)
命题
\(f\) 非负可测，\(f\)可积\(\Rightarrow f\ a.e.\)有限
Levi 引理
\(\{f_n\}\)非负可测渐升列，\(\{\int_Ef_n\}_{n=1}^{\infty}\) 有界，则\(f_n\)点点收敛于一非负可积函数\(f\)，\(f\ a.e.\) 有限且\(\int_Ef=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_Ef_n\)