常微分方程第 2 课笔记
1.1.2 微分方程求解思想
计算与近似计算
微分方程的解
考虑一般形式的微分方程
函数 \(\phi(t)\) 在区间 \(J\) 上连续，有直到 \(n\) 阶的导数，对所有的 \(t \in J\)，\(\eqref{ref1}\) 恒成立，称 \(\phi(t)\) 为方程 \(\eqref{ref1}\) 在区间 \(J\) 上的一个解。
微分方程的通解与特解
含有 \(n\) 个常数的函数 \(x=\phi(t,\mathbf{c}),(t,\mathbf{c}) \in (t_1,t_2)\times \Lambda \subset \mathbb{R}\times \mathbb{R}^2\)
如果
-
\(\phi\) 是原微分方程的解，且
-
\(n\) 个常数是任意的或独立的，
\[ \frac{D(\phi,\phi',\dots,\phi^{(n-1)})}{D(c_1,c_2,\dots,c_n)}:= \begin{vmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial c_1} & \frac{\partial \phi}{\partial c_2} & \cdots & \frac{\partial \phi}{\partial c_n} \\ \frac{\partial \phi'}{\partial c_1} & \frac{\partial \phi'}{\partial c_2} & \cdots & \frac{\partial \phi'}{\partial c_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \phi^{(n-1)}}{\partial c_1} & \frac{\partial \phi^{(n-1)}}{\partial c_2} & \cdots & \frac{\partial \phi^{(n-1)}}{\partial c_n} \\ \end{vmatrix} \not=0 \]??? +warning
上式定义域存疑，至少在这条信息被移除前我还没看懂上式称为 Jacobi 行列式，其中 \((t,\mathbf{c}) \in (t_1,t_2)\times \Lambda\)
则称 \(x=\phi(t,\mathbb{c})\) 为微分方程的通解。
通解是一族解，当任意常数被完全确定时我们也相应获得一个特定的解，称为特解。
初值问题（Cauchy 问题）
\(n\) 阶微分方程满足初始条件 \(x(t_0)=x_0\),\(x'(t_0)=x_1\),\(\dots\),\(x^{(n-1)}(t_0)=x_{n-1}\) 称为初值问题（Cauchy问题）。 满足初始条件的微分方程的解称为初值问题的解。
初值问题的例子
初值问题的解未必唯一，比如初值问题 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y^{\frac{3}{5}}\),\(y(1)=0\) 就具有无穷多个解：
其中 \(x \in \mathbb{R}\)，\(c\geq 1\) 是任意常数。
近似解
将初值问题
用等价积分方程形式 \(\phi(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\phi(\tau))\mathrm{d}\tau\) 表示
构造函数序列 \(\{\phi_n(t)\}\) 来逼近上述初值问题的解。
利用递推关系 \(\phi_0(t)\equiv x_0\), \(\phi_n(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\phi_{n-1}(\tau))\mathrm{d}\tau\), \(n=1,2,\) 来定义函数序列。
几何分析
积分曲线
考虑方程 \(\dot{\phi}(t)=f(t,\phi(t))\) 且 \(f(t,x)\) 在平面上一个区域 \(G\) 上连续。 该方程的解 \(x=\phi(t)\) 在 \(tx\) 平面上给出了一条光滑曲线 \(\Gamma\)，称为该方程的一条积分曲线。
微分方程在 \(tx\) 平面上的每一个使该方程有意义的点处都指明了一个方向，那就是积分曲线在该点的斜率。 像这样逐点定义了方向斜率的平面（或区域）称为微分方程的向量场（线素场）。
因此， 积分曲线就是一条每个点的切线都与方向场一致的光滑曲线。